مقایسه روش‌های عددی تجزیه آدومیان و کرانک- نیکلسون بهبود یافته برای معادله برگرز دوبعدی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشیار، گروه ریاضی، دانشگاه فنی و حرفه ای، تهران، ایران

2 استادیار، گروه آمار، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران

3 استادیار، گروه ریاضی محض، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران

4 استادیار، گروه ریاضی، دانشگاه ازاد تهران مرکزی، تهران، ایران

چکیده

در این مقاله روش‌های عددی تجزیه آدومیان و کرانک-نیکلسون بهبود یافته برای حل معادله برگرز غیرخطی دوبعدی مورد مقایسه قرار گرفته است، همچنین این روش‌های عددی با روش تحلیلی مقایسه شده است. روش MLCN بر خلاف کرانک-نیکلسون متداول یک روش صریح بوده و دارای پایداری نامشروط می‌باشد. این روش با تبدیل معادله دیفرانسیل جزئی به معادلات دیفرانسیل معمولی منجر به تشکیل چند ماتریس بلوکی ساده می‌گردد که محاسبات را ساده‌تر می‌نماید. روش تجزیه آدومیان شامل تابع نامعلوم U(x) است که هر معادله توسط یک سری از تابع‌های نامحدود تعریف‌شده و حل می‌شود. در این مطالعه پارامترهای سرعت u در راستای محور Xها و v در راستای محور Yها در زمان‌های مختلف و اعداد رینولدز متفاوت با طول گام زمانی ثابت مورد بررسی قرار داده شده است. با ارایه دو مثال از توابع مثلثاتی و نمایی با شرایط اولیه متفاوت، نتایج عددی حاصل از این روش‌ها با روش تحلیلی مقایسه شده و نشان داده شده است که روش تجزیه آدومیان با دقت بهتری نسبت به روش کرانک-نیکلسون عمل می‌کند و روش تجزیه آدومیان به روش تحلیلی نزدیک‌تر است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1]        Bateman, H., Some recent researches on the motion of fluids, Monthly Weather Review, Vol. 43, No. 4, pp. 163-170, 1915.
[2]       Beck J. and Khanin, K., Burgers turbulence, Physics Reports, Vol. 447, No. 1-2, pp. 1-66, 2007.
[3]       Mittal R.C., and Arora G., Numerical solution of the coupled viscous Burgers’ equation, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 16, No. 3, pp. 1304-1313, 2011.
[4]       Christou M.A., and Sophocleous C., Numerical similarity reductions of the (1+3)-dimensional Burgers equation, Applied Mathematics and Computation, Vol. 217, No. 18, pp. 7455-7461, 1991.
[5]       Srivastava V.K., and Awasthi M.K., (1+n)-Dimensional Burgers’ equation and its analytical solution: A comparative study of HPM, ADM and DTM, Ain Shams Engineering Journal, Vol. 5, No. 2, pp. 533-541, 2014.
[6]       Abduwali A., corrector local C-N method for the two- dimensional heat equation, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 19, pp. 1-10, 1997.
[7]       Huang P., and Abduwali A., The Modified Local Crank- Nicolson method for one- and two-dimensional Burgers' equations, Comput. Math Appl, Vol. 59, No. 8, pp. 2452-2463, 2010.
[8]       A.R,Haghighi,A.R  and Shirin Pakrou, Comparison of the LBM with the modified local Crank-Nicolson method solution of transient one-dimensional non-linear Burgers’ equation, International Journal of Computing Science and Mathematics,Vol.7.No.5,ppt.459-466,2016.
[9]       Haghighi A.R., and Shojaeifard M., Numerical solution of the one dimensional non-linear Burgers equation using the Adomian decomposition method and the comparison between the modified Local Crank-Nicolson method and the VIM exact ‎solution, International Journal of Industrial Mathematics (IJIM),Vol.7,No.2,ppt.149-159, 2015.
[10]   Haghighi A.R., and Asl M.S., A comparison between alternating segment Crank-Nicolson and explicit-implicit schemes for the dispersive equation, Int. J. Computing Science and Mathematics, Vol. 5, No. 4, pp. 1-13, 2014.
[11]   Haghighi A.R., and Asl M.S., A finite difference alternating segment scheme of parallel computations for solving heat equation, Journal of Interpolation and Approximation in Scientific Computing, Vol. 2014, pp. 1-10, 2014.
[12]   Bratsos A., Ehrhardt M., and Famelis I.T., A discrete Adomian decomposition method for discrete nonlinear Schrödinger equations, Applied Mathematics and Computation, Vol. 197, No. 1, pp. 190-205, 2008.
[13]   Caldwell J., Wanless P., and Cook A.E., A finite element approach to Burgers' equation, Applied Mathematical Modelling, Vol. 5, No. 3, pp. 189-193, 1981.
[14]   Tabatabaei A.H.A.E., Shakour E., and Dehghan M., Some implicit methods for the numerical solution of Burgers' equation, Applied Mathematics and Computation, Vol. 191, No. 2, pp. 560-570, 2007.
[15]   Adomian G., Application of the decomposition method to the Navier-Stokes equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 119, No. 1-2, pp. 340-360, 1986.
[16]   Orlowski A.,and Sobczyk K., Solitons and shock waves under random external noise Reports on Mathematical Physics, VoL. 27, No. 59, 1989.
[17]   Bahadır A. R., A fully implicit finite-difference scheme for two-dimensional Burgers’ equations, Applied Mathematics and Computation, Vol. 137, No. 1, pp. 131-137, 2003.
[18]   Zhu H., Shu H., and Ding M., Numerical solutions of two - dimensional Burgers’ equations by discrete Adomian decomposition method, Computers & Mathematics with Applications,Vol. 60, No. 3, pp. 840-848, 2010.
[19]   Biazar J.,Aminikhah H., Exact and numerical solutions for non- linear Burger's equation by VIM, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 49, pp. 1-7, 2009.